“Los temas más «útiles» son habitualmente aquellos que para la mayoría de nosotros nos resultan más inútiles si los tenemos que aprender. [De] hecho, resulta bastante asombroso el poco valor práctico que tiene el conocimiento científico para una persona corriente, cuán aburrido y ordinario resulta ese valor, y cómo este da la impresión de variar de manera inversamente proporcional a su utilidad conocida. [Vivimos], o guiándonos por un conjunto de reglas generales, o confiando en el conocimiento profesional de otras personas. [Es] innegable que un buen conocimiento sobre matemáticas elementales [tiene] una considerable utilidad práctica”.
Confieso que la primera vez que leí la Apología de un matemático de Hardy (1940), en inglés, hace ya muchos años, me dejó un sabor agridulce. Acaba de caer en mis manos la nueva edición de la editorial Capitán Swing, con prólogo de José Manuel Sánchez Ron (hay otra edición en español con prólogo de Miguel de Guzmán). Lo he disfrutado desde el primer momento, empezando por el tacto de las letras en relieve en portada y contraportada, que ayudan a un agarre preciso cuando uno lee paseando. Por ello te recomiendo leer G. H. Hardy, “Apología de un matemático”, Capitán Swing (2017) [152 pp.]; por cierto, la traducción de Pedro Pacheco G., @Pedrociencia, es excelente. Sin lugar a dudas un buen regalo para las próximas fiestas navideñas.
Como escribe Sánchez Ron en su prólogo: Hardy “nos dejó un libro, esta Apología a un matemático, maravilloso, delicado, tierno, franco, conmovedor. Aunque no todas las ideas que defendía en él sean ciertas, merece la pena que las defendiese. Nos hablan de un mundo noble, desprendido, generoso en la búsqueda de la Verdad, atributos que nunca deberíamos dejar de admirar”. Godfrey H. Hardy, matemático experto en teoría de números y análisis matemático, es famoso por hacer famoso a Srinivasa Ramanujan; Hardy con 35 años conoció al genial indio cuando tenía 27 años, hasta que falleció 5 años más tarde. Hardy es el paradigma de lo que Marcelino Menéndez Pelayo llamó en 1894 la sublime utilidad de la ciencia inútil.
La Apología de Hardy rebosa pesimismo, ya que sufría una depresión aguda cuando la escribió como terapia. Sin embargo, su discurso es ágil y preciso, sus ideas están expresadas de una forma concisa pero muy clara; por ello este libro es ideal para provocar el debate, para discrepar con sus argumentos, para estar en desacuerdo con Hardy. Por ello creo que puede ser muy útil para profesores de matemáticas en enseñanza secundaria que quieran fomentar el pensamiento crítico entre sus alumnos. Y, por qué no, para todo aquél que sea capaz de apreciar la belleza de las matemáticas.
El libro se inicia con un prefacio de José Manuel Sánchez Ron, otro prefacio de C. P. Snow y el prefacio del autor. Tras ellos nos encontramos con 29 breves capítulos, de entre una y cinco páginas, aunque la mayoría solo tienen dos páginas. José Manuel Sánchez Ron, “Godfrey Harold Hardy, el matemático puro” [pp. 7-31] es una glosa a las matemáticas y al autor al hilo de su Apología. Se inicia con “Pureza e intemporalidad de la matemática”, para pasar a “Belleza y matemática”, donde comenta que “lo que a un matemático le puede parecer bello a otro no se lo parecerá”. Un punto álgido es “La utilidad de la matemática”, donde se destaca su “contribución a la matemática «aplicada», la conocida como «ley de Hardy-Weinberg» de la genética”.
Hardy escribe en las primeras líneas de su artículo «aplicado»: “Soy reacio a entrometerme en una discusión que concierne a temas de los que no poseo un conocimiento especializado, y debería haber esperado a que el sencillo argumento que deseo aportar hubiese sido familiar para los biólogos”. Finaliza Sánchez Ron su prefacio con “Una personalidad compleja”, “Hardy como profesor” y “Final”. El prefacio de C. P. Snow [pp. 33-66] describe la personalidad de su amigo, el autor, una breve biografía y la razón que justificó la escritura de este libro.
“Apología de un matemático es, si se lee con la atención que merece, un libro de una tristeza inquietante. [Su] claridad cristalina y su candor siguen presentes, y es igualmente cierto que se trata del testamento de un artista creativo. Pero también es, de un sutil y estoico modo, un lamento apasionado por la pérdida de las capacidades creativas que solía poseer y que no volverán jamás. [No] fui de gran ayuda para él durante esos últimos años. [He] de admitir, con remordimiento, que nuestra relación no es que se enfriara, sino que nos distanciamos. [Fui] a Cambridge al menos una vez por semana. Temía cada visita. [La] quería, no la temía. ¿Qué hay que temer del vacío? [Cada] tarde, su hermana, antes de dejarle, le leía un capítulo de la historia del críquet en la Universidad de Cambridge. Uno de esos capítulos contenía las últimas palabras que oyó”.
“Escribo sobre matemáticas porque al igual que cualquier otro matemático que ha cumplido los sesenta años, ya no poseo la frescura de mente, la energía o la paciencia para realizar de forma eficiente mi propio trabajo,” confiesa Hardy en el capítulo 01 [pp. 71-72]. “Me propongo presentar una apología de las matemáticas. [Al] defender las matemáticas, estaré defendiéndome a mí mismo, y [mi] apología no podrá evitar ser, en cierta medida, egocéntrica. [Cierto] egoísmo de este clase es inevitable”, glosa en el capítulo 02 [pp. 73-74].
El capítulo 03 [pp. 75-77] recuerda que “hay muchas personas que no saben hacer absolutamente nada bien. [Puede] que un 5 o quizás un 10 por ciento de las personas sabe hacer algo bastante bien. [Si] un hombre posee un talento genuino, debería estar dispuesto a sacrificar lo que sea para poder cultivarlo y desarrollarlo al máximo”. “Ningún matemático debería permitirse olvidar que las matemáticas [son] una labor para hombres jóvenes”, afirma sin rubor en el capítulo 04 [pp. 79-80]. “No conozco ningún caso de un importante avance matemático cuyo descubrimiento haya sido empezado por un hombre que haya pasado de los cincuenta años de edad”.
“La «variación humilde» de la apología estándar” se presenta en el breve capítulo 05 [p. 81]. “¿Merece la pena dedicar la vida a las matemáticas? [Y] ¿por qué?” se pregunta Hardy en voz alta en el capítulo 06 [pp. 83-85]. Con el objetivo del libro ya presentado llegamos al capítulo 07 [pp. 87-88]. “El primer deber de un hombre, y en todo caso el de un hombre joven, es ser ambicioso. [La] ambición ha sido la fuerza impulsora responsable de casi todas las mejores obras realizadas en el mundo”. Los tres motivos más importantes para investigar son “la curiosidad intelectual, [el] orgullo profesional [y] la ambición. [No] hay nada en ello de lo que un hombre decente debiera avergonzarse”.
“El logro matemático, sea cual sea su valor intrínseco, es el más perdurable de todos”, afirma Hardy en el capítulo 08 [pp. 89-90]. “Puede que inmortalidad sea una palabra absurda, pero es muy probable que sea un matemático el que tenga más probabilidad de alcanzarla, sea cual sea su significado. [La] fama en matemáticas, si te la puedes permitir, es una de las inversiones más sólidas y firmes”. En el breve capítulo 09 [p. 91] se lamenta el autor, “un catedrático tiene que renunciar a algo y, en particular, a la posibilidad de ganar grandes sumas de dinero”, y nos compensa con un curioso sueño que le relató Bertrand Russell.
El capítulo 10 [pp. 93-95] se inicia rotundo: “Un matemático, al igual que un pintor o un poeta, es un creador de modelos. Si sus modelos son más permanentes que los de los otros es porque están compuestos por ideas. [Con] el paso del tiempo, las ideas se deterioran menos que las palabras”. Por supuesto, “los modelos del matemático [deben] ser hermosos. [No] existe nada en el mundo que satisfaga tanto incluso a hombres famosos [como] el descubrir, o redescubrir, un auténtico teorema matemático”. En el capítulo 11 [pp. 97-98] se nos aclara que “las mejores matemáticas son serias y hermosas; se puede decir que son importantes si así se desea, [pero] serias expresa mejor lo que quiero decir. [La] «seriedad» de un teorema matemático radica [en] la importancia de las ideas matemáticas que conecta”.
“Llegados a este punto”, el capítulo 12 [pp. 99-101], “está claro que, si queremos progresar, debo citar ejemplos de teoremas matemáticos «auténticos», teoremas que cualquier matemático consideraría de primer nivel. [El] primero es la demostración de Euclides de la existencia de una infinitud de números primos [realizada] por reducción al absurdo“. El capítulo 13 [pp. 103-106] presenta el “segundo ejemplo, [la] demostración de Pitágoras de la «irracionalidad» de la √2. [Podría] citar cualquier teorema elegante de la teoría de números cuyo significado podría ser comprendido por cualquiera. [Pero] la demostración, aunque no se pueda decir que sea «difícil», requiere aclarar algunos puntos [y] podría parecerle aburrido a un lector que no estuviera familiarizado con las matemáticas”.
“La superioridad de los teoremas matemáticos en cuanto a su seriedad es obvia y aplastante” afirma Hardy en el capítulo 14 [pp. 107-109]. Por cierto, “es obvio que los números irracionales no tienen interés alguno para un ingeniero, ya que trabaja únicamente con aproximaciones, y todas las aproximaciones son racionales”. El capítulo 15 [pp. 111-112] recuerda que “un teorema «serio» es un teorema que contiene ideas «significativas». [Hay] dos aspectos que son esenciales, una cierta generalidad y una cierta profundidad; pero ninguna de esas cualidades es fácil de definir con total precisión”. El capítulo 16 [pp. 113-115] trata de aclarar el significado de “generalidad, [una] palabra ambigua y bastante peligrosa”, y el 17 [pp. 117-118] el de “profundidad, [un] concepto que es todavía más difícil definir”.
“¿Qué cualidades «puramente estéticas» se pueden distinguir en teoremas como los de Euclides o Pitágoras? [Un] alto grado de incertidumbre, combinado con cierta inevitabilidad y economía. Los argumentos utilizados tienen una forma curiosa y sorprendente”. Se puede comparar el juego del ajedrez con las matemáticas, “pero el «gran juego» del ajedrez es principalmente psicológico, un conflicto entre una inteligencia entrenada y otra, y no una simple colección de pequeños teoremas matemáticos”.
“Una ciencia o un arte son «útiles» si su desarrollo incrementa, aunque sea de forma indirecta, el bienestar material y el confort de la gente, si fomenta la felicidad, utilizando esa palabra en su sentido más ordinario y corriente. [Algunas] matemáticas son ciertamente útiles en este sentido; los ingenieros no podrían realizar su trabajo sin unos buenos conocimientos prácticos de matemáticas,” aclara Hardy en el capítulo 19 [pp. 121-122]. El párrafo que abre esta reseña está extraído del capítulo 20 [pp. 123-124].
El capítulo 21 [pp. 125-126] nos presenta al Hardy más Hardy: “las matemáticas «auténticas», las de Fermat, Euler, Gauss, Abel y Riemann, son, casi en su totalidad, «inútiles» (y esto es igualmente cierto tanto para las matemáticas «aplicadas» como para las «puras»). [A] veces se sugiere que los matemáticos puros se vanaglorian de la inutilidad de su trabajo. [Se trata], por supuesto, de una floritura retórica deliberada”. La cuestión clave es “¿en qué se diferencian las matemáticas puras y las aplicadas?”, capítulo 22 [pp. 127-128]. “Para mí, y supongo que también para la mayoría de los matemáticos, existe otra realidad a la que llamo «realidad matemática». [Creo] que la realidad matemática yace fuera de nosotros, y que nuestra función es descubrirla u observarla, y que los teoremas que demostramos [son] simplemente las notas de nuestras observaciones”.
“El contraste entre las matemáticas puras y las aplicadas pude que se más evidente en geometría”, afirma Hardy en el capítulo 23 [pp. 129-131]. Para luego sorprender a algunos en el capítulo 24 [pp. 133-134] al afirmar que un matemático “está en un contacto mucho más directo con la realidad” que un físico. “Ni los físicos ni los filósofos han dado jamás un argumento convincente sobre lo que es la «realidad física». [Pero] un matemático trabaja con su propia realidad matemática. [La] visión realista es mucho más verosímil si se trata de la realidad matemática que de la física, porque los objetos matemáticos son lo que parecen ser, algo que ocurre en un grado mucho menor con os objetos físicos”. Por ejemplo, “137 es un número primo, no porque pensemos que es así o porque nuestras mentes se hayan moldeado de una forma y no de otra, sino porque es así, porque la realidad matemática está construida de ese modo”.
En el capítulo 25 [pp. 135-136] se afirma sin rubor que “para bien o para mal, son precisamente las partes más aburridas y elementales, tanto de las matemáticas aplicadas, como de las puras, las que sirven. Puede que el tiempo cambie todo esto. [Pero,] hasta ahora, la evidencia nos hace concluir que, tanto en [relatividad] como en [mecánica cuántica], lo que es útil para la vida práctica es la parte más corriente y aburrida de esas ciencias”.
“¿Qué partes de las matemáticas son útiles?” inicia el capítulo 26 [pp. 137-138]. La “conclusión [es] bastante curiosa, [las] matemáticas puras son, en su conjunto, claramente más útiles que las aplicadas”. Y el capítulo 27 [pp. 139-140] con “se puede objetar que mi concepto de «utilidad» ha sido demasiado limitado”. Hay que “dejar claro, a muchos lectores que nunca han sido ni serán matemáticos, que en las matemáticas hay mucho más de lo que ellos creen”. Más aún, en el capítulo 28 [pp. 141-143], se aclara que “existen, entonces, dos matemáticas. Están las matemáticas auténticas de los matemáticos auténticos, y están las que yo llamaría matemáticas «triviales», a falta de una palabra más apropiada. [Las] matemáticas triviales son, en su conjunto, útiles, y, en cambio, las matemáticas auténticas no lo son”. Y se llega a un punto controvertido, la siguiente afirmación: “Las matemáticas auténticas no tienen efecto alguno sobre la guerra. [Por] otro lado, las matemáticas triviales tienen muchas aplicaciones para la guerra”.
“Finalizaré” el último capítulo, 29 [pp. 145-149], “con un resumen de mis conclusiones, pero exponiéndolas de una forma más personal. [No] recuerdo haber sentido de niño ninguna pasión por las matemáticas, y las ideas que tenía de lo que debía ser tener la carrera de un matemático distaban mucho de ser honrosas. Para mí, las matemáticas eran exámenes y becas. Quería vencer a los demás chicos, y este me parecía el medio en el que lo podía lograr más claramente. [El] profesor Love [me aconsejó] que leyera la famosa obra de Jordan titulada Cours d’analyse; y nunca olvidaré el entusiasmo con el que leí ese extraordinario trabajo que ha sido la primera fuente de inspiración para tantos matemáticos de mi generación, y aprendí por primera vez, mientras lo leía, lo que realmente son las matemáticas”.
“Los auténticos momentos decisivos de mi carrera llegaron diez o doce años más tarde, en 1911, cuando empecé mi larga colaboración con Littlewood, y en 1913, cuando descubrí a Ramanujan. [He] tenido pocos problemas con la aburrida rutina de las universidades. Odio «dar clases», y he tenido que hacerlo muy pocas veces, ya que la enseñanza que he ejercido ha sido casi siempre como supervisor de investigación; me encanta dar conferencias [y] siempre he tenido un montón de tiempo disponible para dedicar a las investigaciones, que han sido para mí la gran felicidad permanente de mi vida. Me ha resultado fácil trabajar con otros, he colaborado a gran escala con dos matemáticos excepcionales; y eso me ha permitido contribuir a las matemáticas muchísimo más de lo que razonablemente podría haber esperado. [Por] lo tanto, mi elección fue la correcta si lo que quería era tener una vida razonablemente confortable y feliz. [Nunca] he hecho nada que se pueda considerar «útil». [Si] se juzga basándose en criterios prácticos, el valor de mi vida matemática es cero. [Y] es innegable que he creado algo, lo cuestionable es el valor de esa creación”.
Finaliza el libro con una nota [pp. 151-152] que responde a críticas del profesor Broad, del doctor Snow y de J. M. Lomas tras la lectura del manuscrito original. Sin lugar a dudas un libre delicioso que disfrutarán todos los que se atrevan a disfrutar de la visión de Hardy sobre las matemáticas. ¿Te atreves?
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